VALOR ABSOLUTO

La noción de valor absoluto se utiliza en el terreno de las matemáticas para nombrar al valor que tiene un número más allá de su signo. Esto quiere decir que el valor absoluto, que también se conoce como módulo, es la magnitud numérica de la cifra sin importar si su signo es positivo o negativo.

Tomemos el caso del valor absoluto 5. Este es el valor absoluto tanto de +5 (5 positivo) como de -5 (5 negativo). El valor absoluto, en definitiva, es el mismo en el número positivo y en el número negativo: en este caso, 5. Cabe destacar que el valor absoluto se escribe entre dos barras verticales paralelas; por lo tanto, la notación correcta es |5|.

Ejemplo

a) Determine todos los valores de la variable para los cuáles 

|2x+6|=−(2x+6)

.

Solución

Se quiere determinar los valores de la variable en que el valor absoluto le cambia el signo a la expresión 

2x+6

. Esto ocurre si y sólo si la expresión entre las barras es negativa.

 Plantear cuando la expresión entre las barras es negativa, en términos de una desigualdad.

 Resolver la desigualdad planteada.

 Responder.

b) ¿Para cuáles valores de la variable se tiene que 

|2x+6|=2x+6

?

Tenemos que x<−3 si y sólo si 2x+6 es negativo.

Por consiguiente, x≥−3 si y sólo si 2x+6 es positivo o 0.

Así que si x≥−3 tenemos que

|2x+6|=2x+6

Propiedades del valor absoluto

Propiedades inmediatas

Primero establecemos algunas propiedades elementales que siguen de la definición.

Propiedades

1  |a|=0⇔a=0

2  |a|≥0

3  |−a|=|a|

De la propiedad 3 aplicada a a−b tenemos la siguiente

Propiedad 4  |b−a|=|a−b|

Propiedades del valor absoluto sobre las operaciones elementales

Veamos algunas propiedades de cómo se comporta el valor absoluto frente a las operaciones elementales.

Proposición

5  |a⋅b|=|a||b|     Propiedad multiplicativa

6  |ab|=|a||b|, b≠0

7  |an|=|a|n, para n entero positivo o cero.

Propiedades que ayudan a resolver ecuaciones e inecuaciones con valor absoluto

La idea de resolver ecuaciones e inecuaciones con valores absolutos es transformar el problema en resolver ecuaciones sin valor absoluto. En determinadas ecuaciones e inecuaciones podemos aplicar alguna de las siguientes propiedades para quitarlos.

Teorema     Para c>0 tenemos

|x|=c⇔x=−cox=c

Ella sigue de la propia definición del valor absoluto.

Teorema    

|x|=|y|⇔x=yox=−y

Los valores absolutos de dos números son iguales si y sólo si los números son iguales o uno es el opuesto del otro.

Teorema
    Para c>0 tenemos que

a)b)|x|≤c⇔−c≤x≤c|x|<c⇔−c<x<c

Demostración a  

Si trabajamos con complementos podremos usar el teorema anterior para probar el siguiente

Teorema
    Para c>0 tenemos que

a)b)|x|≥c⇔x≤−cox≥c|x|>c⇔x>−cox>c

Teorema    

|x|<|y|⇔x2<y2